Berechnung des freien Falls

Wenn wir den Ortsfaktor beziehungsweise die Gravitationsbeschleunigung, die Fallbeschleunigung oder die Schwerebeschleunigung eines Ortes kennen, können wir daraus leicht einige Antworten auf Fragen zum freien Fall wie zum Beispiel die nach der Fallgeschwindigkeit, die nach der Dauer des Falls oder die nach der zurückgelegten Strecke ableiten.

Wie und mit welchen Formeln wir diese Parameter berechnen können, möchte ich euch an Hand der folgenden Beispiele in dieser Info zeigen:

• Fallzeit für eine bestimmte Höhe
• Endgeschwindigkeit nach dem Fall aus einer bestimmten Höhe
• Geschwindigkeit nach einer bestimmten Falldauer
• Zurückgelegter Weg nach einer bestimmten Falldauer

Der Ortsfaktor unseres Heimatplaneten Erde beträgt an den Polen 9,832 m/s² während er am Äquator mit 9,787 m/s² etwas niedriger ausfällt. In unseren Beispielen rechnen wir - wie in der Physik üblich - mit einer Fallbeschleunigung von 9,81 m/s², dem mittleren Wert der Erdoberfläche. In meinem Beitrag über die Ortsfaktoren verschiedener Orte und Planeten findet ihr eine Übersicht weiterer Ortsfaktoren, falls ihr den freien Fall für andere Bedingungen, wie zum Beispiel für den Mond oder für andere Planeten unseres Sonnensystems berechnen wollt. Darüber hinaus vernachlässigen wir bei unseren Berechnungen den Luftwiderstand, da dieser beim Fall kompakter Objekte während der ersten Meter kaum ins Gewicht fällt und erst mit höheren Fallgeschwindigkeiten eine immer größere Rolle spielt.

Fallzeit für eine bestimmte Höhe

Als erstes möchten wir uns die Formel für die Dauer eines Falls aus einer vorgegebenen Höhe ansehen:

\[t=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}\]

Damit lässt sich zum Beispiel ausrechnen, wie lange ein Fall aus einer Höhe von 10 Metern auf der Erde dauern würde, indem wir für h "10 m" und für g unseren Ortsfaktor für die Erdoberfläche einsetzen:

\[t=\sqrt{\frac{2\cdot 10 m}{9,81\frac{m}{s^2}}}\thickapprox 1,4278 s \]

Das Ergebnis sind gerundete 1,4278 Sekunden. Wenn wir also im Schwimmbad vom Zehn-Meter-Turm springen, benötigen wir für diesen Weg etwas mehr als eineinhalb Sekunden.

Endgeschwindigkeit nach dem Fall aus einer bestimmten Höhe

Natürlich interessiert uns auch, welche maximale Geschwindigkeit wir kurz vor dem Aufprall erreichen. Diese lässt sich einfach mit der folgenden Formel ausrechnen:

\[v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}\]

Wieder müssen wir lediglich unseren Ortsfaktor sowie die Höhe für g beziehungsweise h einsetzen. Für unser Beispiel des Sprungs vom Zehn-Meter-Turm ergibt sich folglich die folgende Berechnung:

\[v=\sqrt{2 * 9,81\frac{m}{s^2} * 10 m} \thickapprox 14,01 \frac{m}{s} \thickapprox 50,43 \frac{km}{h} \]

Die Formel liefert uns das Ergebnis in Metern pro Sekunde (m/s). Wenn wir stattdessen das gebräuchlichere Maß Kilometer pro Stunde (km/h) präferieren, können wir das Resultat der Berechnung einfach umrechnen indem wir das Ergebnis mit dem Faktor 3,6 multiplizieren. Dieser Faktor ergibt sich aus der Umrechnung von 60 * 60 = 3600 Sekunden für eine Stunde dividiert durch 1000 Meter für einen Kilometer.

Beim Aufprall auf dem Wasser nach unserem Zehnmeter-Sprung haben wir also eine Endgeschwindigkeit von ungefähr 14 Metern pro Sekunde beziehungsweise von rund 50 km/h erreicht, kurz bevor wir ins Wasser eintauchen.

Geschwindigkeit nach einer bestimmten Falldauer

Natürlich können wir nicht nur die Endgeschwindigkeit berechnen sondern auch die Geschwindigkeit, die wir nach einer bestimmten Zeit erreicht haben. Die Formel dafür lautet:

\[v=g*t\]

Neben unserem Ortsfaktor g können wir dieses Mal die Zeit für t in die Formel einsetzen. Wenn wir bei unserem Beispiel bleiben wollten, könnten wir zum Beispiel schauen, wie schnell wir nach einer Sekunde Falldauer unterwegs wären. Diese Rechnung wäre allerdings trivial, da die Geschwindigkeit in m/s bei einer Sekunde Falldauer dem Ortsfaktoren entsprechen würde (9,81 m/s beziehungsweise rund 35 km/h), aus diesem Grund möchten wir dieses Mal einen anderen Wert verwenden und die Geschwindigkeit nach einem freien Fall von 5 Sekunden berechnen:

\[v=9,81\frac{m}{s^2}*5s = 49,05 \frac{m}{s} = 176,58 \frac{km}{h} \]

Das Ergebnis zeigt uns, dass wir nach fünf Sekunden freiem Fall ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes eine Geschwindigkeit von 49,05 m/s beziehungsweise 176,58 km/h erreicht haben. Wie im letzten Abschnitt erläutert, können wir den km/h-Wert durch eine Multiplikation mit dem Faktor 3,6 aus dem m/s-Wert berechnen.

Zurückgelegter Weg nach einer bestimmten Falldauer

Zuletzt interessiert uns noch, welchen Weg wir nach einer bestimmten Falldauer zurückgelegt haben. Dies können wir mit der folgenden Formel ausrechnen:

\[s=\frac{1}{2}g*t^2\]

Als Beispiel möchten wir wieder die 5 Sekunden aus der Beispielrechnung des letzten Abschnitts verwenden und setzen diese Zeit für t neben dem Ortsfaktoren g in die Formel ein:

\[s=\frac{1}{2}*9,81\frac{m}{s^2}*5s^2 = 122,625 m \]

Als Ergebnis erhalten wir 122,625 Meter. Das bedeutet, dass wir nach 5 Sekunden freiem Fall bereit eine Strecke von rund 122 Metern zurückgelegt haben und dabei mit rund 176 km/h unterwegs sind. Diese Höhe entspricht ungefähr dem mit einer Höhe von 126 Metern höchsten Freefall-Tower der Welt "Zumanjaro: Drop of Doom" aus dem Six Flags Great Adventure Park in Jackson Township, New Jersey, USA.